Dois amigos, Pedro e Vitor, têm o hábito de jogar e apostar entre si. Certo dia, criaram um jogo em que Pedro lançaria três vezes um dado honesto de 6 faces numeradas de 1 a 6. Em seguida, daria algumas dicas e Vitor deveria, baseado nessas dicas, tentar adivinhar a sequência dos três resultados dos lançamentos de Pedro.

Considere que as dicas a seguir, dadas por Pedro, são confiáveis, e que Vitor as utilizará da forma mais proveitosa possível:

Dica 1: não foram obtidos números primos em nenhum dos lançamentos.

Dica 2: no segundo lançamento, o resultado obtido foi um número par.

Dica 3: o resultado do terceiro lançamento foi diferente do segundo.

Quantas são as diferentes sequências de resultados que Vitor ainda possui como possibilidades para dar seu palpite?

Seja (S_n) uma sequência na qual cada termo é definido pela expressão !$ S_n \, = \, \dfrac {a+(n-1)r} {a \cdot r^{n-1)}} !$ com a e r constantes positivas, sendo r > 1.

O limite dessa sequência, quando !$ n \, \rightarrow \, \infty !$, é igual a

Seja !$ f : \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ definida por !$ f(x) \, = \, \dfrac {7+3cosx} {2+cosx}. !$

O valor máximo de f é igual a

Sejam f e g duas funções definidas, respectivamente, por f(x) = a₁ x + b₁ e g(x) = a₂ x + b₂ com o coeficiente angular da reta que representa o gráfico de f maior que o da reta que representa o gráfico de g.

Nessas condições o !$ lim (f(x) \, - \, g(x)) \\ x \rightarrow \infty !$ é igual a

Sejam f e g duas funções afins.

É correto o que se afirma em

Considere as funções !$ f: \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R}^*_+ !$ definida por !$ f(x) \, = \, 2^x !$ e !$ g:\mathbb{R}^*_+ \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ definida por g(x) = !$ log_{ \dfrac {1} {2}} !$ x.

Nessas condições, é correto afirmar que

Seja !$ f : \mathbb{R} \, \rightarrow \, \mathbb{R} !$ tal que !$ f (x) \, = \, \dfrac {2} {4^x + 2}. !$

Assim, o valor de

!$ \sum_{i=1}^{2000} \, f \, \begin {pmatrix} \dfrac {i} {2001} \end {pmatrix} !$

é igual a

Considere o cubo ABCDEFGH cuja aresta mede 6a. Nesse cubo, M e N são pontos médios do segmentos BC e GH, respectivamente.

O volume do poliedro AMCDEHNF, em função de a, é dado por

Na figura a seguir DE é corda da circunferência de centro em A, o raio r = AB e C o ponto médio de AB.

A expressão que indica a área da região hachurada é

Na figura a seguir, a reta r contém o ponto M e a reta s, paralela a r, contém os pontos N, O, P e Q.

P é o ponto médio do segmento !$ \overline{NQ} !$. Além disso, sabe-se que 5.!$ \overline{NO} !$ = 2.!$ \overline{NP} !$. Se a área do triângulo MOP é 60 cm², então a área do triângulo MNQ, em cm², é igual a