No reino de Splock, 50% dos habitantes são Zsers. Se uma amostra aleatória simples de tamanho 1.600 for obtida, a probabilidade de que ao menos 862 sejam Zsers é aproximadamente igual a:

Um cientista prevê que certos organismos, que podem ser classificados em três tipos diferentes (A, B e C), ocorrem, respectivamente, com as seguintes proporções: 25%, 50% e 25%. Uma amostra aleatória simples de 1.000 organismos revelou as seguintes frequências de organismos A, B, e C, respectivamente: 300, 450 e 250. A estatística qui- quadrado usual para testar se a hipótese do cientista está correta é igual a:

Para testar uma hipótese nula de que não há diferença entre as medianas de duas distribuições contínuas (não há efeito de tratamento), pares de observações são obtidas de n indivíduos. Um critério possível é usar o teste de Wilcoxon de postos com sinal. Se não há empates, a média e a variância dessa estatística, quando a hipótese nula é verdadeira valem, respectivamente:

Considere o modelo linear Y_i = β₀ + β₁x_i + ei , E[ei] = 0, Var[e_i ] = σ² e suponha que as variáveis Yi sejam independentes duas a duas, ou seja, Y_i e Y_j são independentes, i ≠ j.

Os estimadores de !$ B_1 = { \Large { \sum (Y_i - \bar{Y}) (X_i - \bar{X}) \over \sum(X_i - X_2)^2}} !$ e !$ B_0 = \bar{Y} - B_1 \bar{x} !$ de !$ \beta_1 !$ e !$ \beta_0 !$ , respectivamente, têm então as seguintes propriedades:

I – são estimadores obtidos pelo método dos mínimos quadrados.

II – são os melhores estimadores não tendenciosos lineares.

III – são estimadores uniformemente mais potentes.

IV – são estimadores de máxima verossimilhança.

Estão corretas as propriedades:

Uma moeda honesta é lançada duas vezes. A probabilidade condicional de que ocorram duas caras dado que ao menos uma cara ocorre é igual a:

A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por:

!$ f ( x) = { \begin{cases} x^{-2}\,se\,x>1\\0\,\,\,,nos\,demais\,casos \end{cases}} !$

O valor esperado de X:

Avalie as afirmativas a seguir, acerca de probabilidades de eventos:

I – Se dois eventos, de probabilidades não nulas, não têm interseção, então eles são independentes.

II – Dois eventos independentes, de probabilidades não nulas, podem ser mutuamente exclusivos.

III – Se A e B são eventos, 0 < P[B] < 1, e se !$ \bar{B} !$ é o complemento de B, então !$ P[A] = P[A \mid B]P[B] + P [A \mid \bar{B}] P [ \bar{B}] !$.

IV – Se A e B são eventos de probabilidades não nulas tais que a probabilidade condicional de A ocorrer dado que B ocorre é igual à probabilidade incondicional de A ocorrer, então A e B são independentes.

Estão corretas as afirmativas:

A função de verossimilhança associada a uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma certa distribuição com parâmetro θ é dada por:

!$ L ( \theta) = ce^{- \theta} \theta^{ \sum x_i} !$

na qual o somatório indicado é tomado de 1 a n e c é constante em relação a θ. O estimador de máxima verossimilhança de θ é:

Se uma variável aleatória X tem distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, então sua função de densidade de probabilidade é proporcional a:

Uma variável aleatória X tem distribuição normal com media 10 e variância 100. O valor do terceiro quartil correspondente é, aproximadamente: