Uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n foi retirada de uma população f(x).

Considere que se deseja testar a hipótese nula !$ H_0: f(x) \, = \, f_0(x) \, = \, \dfrac {2^m x^{m-1} exp(-2x)} {(m - )!} !$versus a hipótese alternativa !$ H_1: f(x) \, = \, f_1(x) \, = \, \dfrac {3^m x^{m-1} exp(-3x)} {(m - 1)!} !$, em que m é um número inteiro. Considere também que, pela estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, a hipótese nula será rejeitada se !$ \land !$ < g, em que g é um valor real não negativo.

Acerca do teste da razão de verossimilhança mencionado no texto, julgue os itens que se seguem.

I Sob a hipótese nula, a distribuição assintótica da estatística !$ \dfrac {In \, \land} {n} !$ é aproximadamente normal.

II Entre os testes de tamanho !$ \alpha !$, o teste da razão de verossimilhança é o mais poderoso.

III O erro do tipo II ocorre quando a hipótese nula é rejeitada sendo que, na realidade, ela é verdadeira.

A quantidade de itens certos é igual a

Uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X_n foi retirada de uma população f(x).

Considere que se deseja testar a hipótese nula !$ H_0: f(x) \, = \, f_0(x) \, = \, \dfrac {2^m x^{m-1} exp(-2x)} {(m - )!} !$versus a hipótese alternativa !$ H_1: f(x) \, = \, f_1(x) \, = \, \dfrac {3^m x^{m-1} exp(-3x)} {(m - 1)!} !$, em que m é um número inteiro. Considere também que, pela estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, a hipótese nula será rejeitada se !$ \land !$ < g, em que g é um valor real não negativo.

Segundo as informações apresentadas no texto, é correto afirmar que o logaritmo natural da estatística !$ \land !$ do teste da razão de verossimilhança, ln !$ \land !$, é igual a

Considere que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população cuja distribuição é dada pela função de densidade f(y) = !$ \lambda !$ exp[-!$ \lambda !$(y - !$ \alpha !$)], se y !$ \ge !$ !$ \alpha !$; e f(y) = 0, se y < !$ \alpha !$, em que !$ \lambda !$> 0 e - !$ \infty !$ < !$ \alpha !$ < +!$ \infty !$ são os parâmetros da distribuição.

Considere ainda as estatísticas a seguir.

Y₍₁₎ = min(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

Y_(n) = max(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

!$ \overline{Y} \, = \, \sum_{k=1}^n \, \dfrac {Y_k} {n} !$

Considere que o parâmetro ", mencionado no texto, tenha um valor conhecido e que !$ \overline{Y} !$ seja o estimador para a média populacional.

Nessa situação, julgue os itens a seguir.

I !$ \overline{Y} !$ é um estimador não tendencioso para a média populacional.

II O erro quadrático médio do estimador !$ \opverline{Y} !$ para a média populacional é igual a !$ \dfrac {1} {\lambda^2}. !$

III O erro padrão de !$ \overline{Y} !$ é igual a !$ \dfrac {\lambda} {\sqrt{n}}. !$

A quantidade de itens certos é igual a

Considere que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população cuja distribuição é dada pela função de densidade f(y) = !$ \lambda !$ exp[-!$ \lambda !$(y - !$ \alpha !$)], se y !$ \ge !$ !$ \alpha !$; e f(y) = 0, se y < !$ \alpha !$, em que !$ \lambda !$> 0 e - !$ \infty !$ < !$ \alpha !$ < +!$ \infty !$ são os parâmetros da distribuição.

Considere ainda as estatísticas a seguir.

Y₍₁₎ = min(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

Y_(n) = max(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

!$ \overline{Y} \, = \, \sum_{k=1}^n \, \dfrac {Y_k} {n} !$

Considere que o parâmetro " mencionado no texto tenha um valor conhecido e que se deseja obter, pelo critério de mínimos quadrados, um estimador para !$ \dfrac {1} {\lambda} !$ que minimize !$ Q \, = \, \sum_{k=1}^n (Y_k \, - \, E(Y_k))^2. !$ Nessa situação, no procedimento de estimação via mínimos quadrados, o estimador para !$ \dfrac {1} {\lambda} !$

I é !$ \overline{Y} \, - \, \alpha. !$

II não é tendencioso.

III é consistente.

A quantidade de itens certos é igual a

Considere que Y₁, Y₂, ..., Y_n seja uma amostra aleatória simples de uma população cuja distribuição é dada pela função de densidade f(y) = !$ \lambda !$ exp[-!$ \lambda !$(y - !$ \alpha !$)], se y !$ \ge !$ !$ \alpha !$; e f(y) = 0, se y < !$ \alpha !$, em que !$ \lambda !$> 0 e - !$ \infty !$ < !$ \alpha !$ < +!$ \infty !$ são os parâmetros da distribuição.

Considere ainda as estatísticas a seguir.

Y₍₁₎ = min(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

Y_(n) = max(Y₁, Y₂, ..., Y_n)

!$ \overline{Y} \, = \, \sum_{k=1}^n \, \dfrac {Y_k} {n} !$

A partir das informações do texto, é correto afirmar que os estimadores de máxima verossimilhança para !$ \alpha !$ e !$ \dfrac {1} {\lambda} !$ são, respectivamente, iguais a

Seja {X_k}, k = 1, 2, ... n, uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função densidade dada por !$ f(x) \, = \, \dfrac {\Gamma(a + b)} {\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1} \, (1 \, - \, x)^{b- \, 1} !$, se 0 < x < 1, e f(x) = 0, se x !$ \le !$ 0 ou se x !$ \ge !$ 1, em que a, b > 0 são os parâmetros da distribuição e !$ \Gamma(t) \, = \, \int\limits_{0}^{+ \infty} h^{t-1} \, e^{-h} !$ dh é a função gama.

As estatísticas suficientes para a estimação dos parâmetros a e b mencionados no texto são, respectivamente, iguais a

Seja {X_k}, k = 1, 2, ... n, uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função densidade dada por !$ f(x) \, = \, \dfrac {\Gamma(a + b)} {\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1} \, (1 \, - \, x)^{b- \, 1} !$, se 0 < x < 1, e f(x) = 0, se x !$ \le !$ 0 ou se x !$ \ge !$ 1, em que a, b > 0 são os parâmetros da distribuição e !$ \Gamma(t) \, = \, \int\limits_{0}^{+ \infty} h^{t-1} \, e^{-h} !$ dh é a função gama.

A partir das informações do texto, se !$ \bar{X} \, = \sum_{k=1}^n \, \dfrac {X_k} {n} !$ for a média amostral, então o valor esperado de !$ \overline{X} !$ é igual a

Seja {X_k}, k = 1, 2, ... n, uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função densidade dada por !$ f(x) \, = \, \dfrac {\Gamma(a + b)} {\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1} \, (1 \, - \, x)^{b- \, 1} !$, se 0 < x < 1, e f(x) = 0, se x !$ \le !$ 0 ou se x !$ \ge !$ 1, em que a, b > 0 são os parâmetros da distribuição e !$ \Gamma(t) \, = \, \int\limits_{0}^{+ \infty} h^{t-1} \, e^{-h} !$ dh é a função gama.

Considerando as informações do texto, assinale a opção incorreta.

Uma variável aleatória X segue uma distribuição uniforme no intervalo [0,1]. A distribuição condicional !$ Y \mid X \, = \, x !$ segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = x.

Ainda considerando as informações do texto, assinale a opção incorreta.

Uma variável aleatória X segue uma distribuição uniforme no intervalo [0,1]. A distribuição condicional !$ Y \mid X \, = \, x !$ segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 5 e p = x.

Considerando as informações do texto, é correto afirmar que a probabilidade P(Y !$ \ge !$ 3) é igual a