Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar apropriadas.

P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; P(Z < 1,6) = 0,945;
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98

Sejam ( X₁,X₂,...X_n) e (Y₁,Y₂,...Y_n)duas amostras aleatórias simples, independentes, de duas variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. Sabe-se que:

I. X representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola A e tem distribuição normal com média de 5,8 e variância 2,25.

II. Y representa as notas de Matemática dos alunos do ensino médio da escola B e tem distribuição normal com média de 5,4 e variância 1,75.

III.

IV. U =

Nessas condições, supondo que as populações de onde essas amostras foram extraídas sejam infinitas, o valor de n para que P( U > 1 ) = 3,6% é igual a

A variável aleatória X tem função densidade de probabilidade dada por:



Considere a variável aleatória Y = 4X - 1. Seja g(y) a função densidade de probabilidade de Y. Nessas condições, g(y), para os valores de Y onde essa função é diferente de zero, é dada por

Uma série temporal tem como processo gerador o modelo:

Z_t= ΦZ _t-1- θa _t-1+ a_t

onde at é o ruído branco de média zero e variância σ² e θ e Φ são os parâmetros do modelo. Considere as seguintes afirmações:

I. Se -1 < Φ < 1, essa série é estacionária.

II. Se Φ = 1, o processo W_t = Z_t - Z_t-1, é um MA(1) estacionário.

III. A função de densidade espectral de Z_t é dada por f(λ)=

IV. Se Φ = 1, a função de previsão do processo, denotada por , para um t fixo, é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

Está correto o que se afirma APENAS em

A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é dada por:



onde k é uma constante apropriada para garantir que f(x) seja uma função densidade de probabilidade. Selecionando-se, aleatoriamente e com reposição, 5 valores de X dentro do intervalo 0 < x < 2, a probabilidade de que exatamente 3 sejam inferiores a 1 é igual a

A função de distribuição acumulada da variável aleatória contínua X é dada por:



O valor da diferença entre a moda e a média de X é igual a

Durante uma semana, observa-se a quantidade de determinadas ocorrências, esperando que diariamente ocorram 20 destes tipos de ocorrências. Para esta análise, foram levantados os seguintes dados em uma semana escolhida aleatoriamente:


Deseja-se saber, ao nível de significância de α, se as frequências são iguais em todos os dias da semana, utilizando o teste do qui-quadrado. Foram formuladas as hipóteses H₀: as frequências são iguais em todos os dias da semana (hipótese nula) e H₁: as frequências são diferentes.

Observação: o valor crítico do qui-quadrado tabelado da distribuição qui-quadrado, ao nível de significância de α e com o respectivo número de graus de liberdade do teste, apresentou um valor superior ao valor do qui-quadrado observado.

O valor do qui-quadrado observado é

A variância de uma população normalmente distribuída e de tamanho infinito é desconhecida. Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída desta população obtendo-se a média dos elementos da amostra igual a x e o respectivo desvio padrão amostral igual a 2,7. Considere o objetivo de testar a hipótese H₀ : μ =20 (hipótese nula) contra H₁ : μ ≠20 (hipótese alternativa), ao nível de significância de 5%, com a realização do teste t de Student. Sabe-se que t_0,025corresponde ao quantil da distribuição t de Student para o teste



A hipótese H₀ será rejeitada caso x

Um intervalo de confiança de 95% para a média μ de uma população normal de tamanho infinito e variância desconhecida foi construído com base em uma amostra aleatória de tamanho 16 e com a utilização da distribuição t de Student. Considere t_0,025 o quantil da distribuição t de Student para o teste unicaudal tal que a probabilidade P(t > t_0,025 ) =0,025, com n graus de liberdade.



Se a variância amostral foi igual a 4,84, então a amplitude do intervalo é igual a

Os estimadores E ₁ =mX+ (1 -m)Y e E ₂ =(m -1)X + (2 -m)Y são utilizados para estimar a média μ de uma população normal com variância unitária. O parâmetro m é real e (X, Y) corresponde a uma amostra aleatória com reposição da população. Dado que E ₂ é mais eficiente que E ₁ e que < 0, tem-se que o valor de m que satisfaz estas duas condições é tal que

Admite-se que o número de peças (x) que se danificam em um pacote com 4 peças cada um, durante o transporte do depósito até a fábrica, obedece à lei de Poisson . Observando, aleatoriamente, 400 destes transportes, decide-se estimar pelo método da máxima verossimilhança o parâmetro λ da distribuição. O quadro abaixo demonstra o resultado referente a estas observações:

x_i 0 1 2 3 4 TOTAL
n_i 220 130 35 10 5 400
Observação: n_i é o número de transportes contendo x_i peças danificadas.

Sendo então o número de peças danificadas uma variável aleatória X, com base na estimativa de λ, tem-se que a variância de X é